초평면이 법선벡터의 곱셈인 이유

초평면을 구하기 위해서는 단순히 법선 벡터와 한 점만 알면 된다. 

 

그리고 w를 법선 벡터라 할 때, 

 

$\vec{w} \cdot \vec{x} + b = 0$ 

 

라는 공식이 주어진다. 

 

문제는 위 공식이 어떻게 유도된 것인지 감이 안온다. 인터넷을 찾아봐도 관련 자료가 생각보다 정말 없다. 

이에 따라 유도 과정을 정리해본다. 

 

$y = (x, y)$ in $R^2$

 

직선의 방정식 general form 

$ax + by + d = 0$

 

우리에게 익숙한 형태 

$y = -\frac{a}{b}x - \frac{d}{b}$

 

$x = t , -\infty < t < \infty$

 

$\textrm{since, } y = \vec{p} = \vec{a} + t\vec{u}$

$y = (x,y) = (x_1, y_1) + t(u_1, u_2) = (x_1 + tu_1, y_1+tu_2)$

 

$y = (x,y) = \bigg( t, -\frac{a}{b}t - \frac{d}{b} \bigg) = t \bigg( 1, -\frac{a}{b} \bigg) +\bigg( 0, -\frac{d}{b}\bigg)$

 

해당 선은 $(1, -\frac{a}{b})$ 방향으로 하여 $(0 , -\frac{d}{b})$ 를 통과한다. 

 

 

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$\vec{n} \cdot y + d = 0$

 

$\vec{n} \cdot p + d = 0$

 

since $d = -\vec{n} \cdot p$

 

$\vec{n} \cdot y - \vec{n} \cdot p = 0$

 

$\vec{n} \cdot(y-p) $ 이 식은 이 글에서 성립함을 확인했다. 점 - 점 = 벡터, 벡터 $\cdot$ 법선벡터  = 0

 

즉 d 는 $- n \cdot p$ 이다. 

 

사실 이는 이 글 에서 확인한 직선의 방정식을 아핀 공간에서 구하는 형태와 동일하다.