ln (x-1) 의 미분

필자에게 자신을 돌아볼 충격적인 일이 있었다. 

ln(x - 1)을 미분하는데, 두가지 방법에 따라 결과값이 다르게 나온 것이다. 

 

1) 합성 함수의 미분 

$$\ln(x-1)' = g'(f(x))f'(x) $$

$$\ln(x-1)' = \ln'(x-1)(x-1)' $$

$$\ln(x-1)' = \frac{1}{x-1} (-1)$$

$$-\frac{1}{x-1}$$

 

2) 미분 계수 정의 이용 

$$\lim_{h \to 0} \frac{\ln(x-1+h) - \ln(x-1)}{h}$$

 

$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln{(\frac{(1-x)+h}{1-x})}$$

$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln{(1 + \frac{h}{1-x})}$$

$$\lim_{h \to 0} \ln{(1 + \frac{h}{1-x})^{\frac{1}{h}}}$$

$$\lim_{h \to 0} \ln{ \{ (1 + \frac{h}{1-x})^{\frac{1-x}{h}} \} ^{\frac{1}{1-x}}}$$

$$\frac{1}{1-x} \ln{e} = \frac{1}{1-x}$$

 

2) 미분 계수 정의를 활용한 것에 어떤 문제도 못 느끼고 있었는데, 문뜩 내가 ln 을 함수로 생각하고 있지 않다는 것을 깨달았다. 

미분계수 정의를 활용할 때는 또 함수처럼 사용하고 있었지만,

결론만 말하자면 ln 함수안에 x-1 이라는 함수가 있으니, 이건 합성함수로 해결해야만 하는 문제였다 .

 

미분 계수 정의를 활용해서 합성함수를 다시 증명해보자. 

$i(x)$ 는 합성함수

$$\lim_{h \to 0} \frac{i(x+h) - i(x))}{x+h - x}$$

$$\lim_{h \to 0} \frac{g(f(x+h)) - g(f(x))}{f(x+h) - f(x)} \cdot \frac{f(x+h) -f(x)}{x+h - x}$$

$$\rightarrow \textrm{x+h -x 를 옆으로 미루고, 서로 소거되는 f(x+h) - f(x)를 생성} $$

$$\textrm{위 과정으로 인하여} = g'(f(x)) \cdot f'(x)$$

$$\textrm{위 과정과 동일하게} \lim_{h \to 0} \frac{ln(1-x+h) - ln(1-x)}{x+h - x}$$

$$\lim_{h \to 0} \frac{ln(1-x-h) - ln(1-x)}{1-x-h - (1-x)} \cdot \frac{1-x-h - (1-x)}{x+h - x} $$

$$ln'(1-x) \cdot -1$$

 

이렇게 증명이 된다. 

한순간의 착각으로 인해 이해를 하는데 오랜 시간이 걸렸지만, 그래도 결국 잘 이해해냈다. 

 

혹시 최악의 가독성으로 인해 이해가 잘 안가시는 분들은 

https://www.youtube.com/watch?v=cLdXZNo2dxs 

영상을 추천한다.