고윳값, 고유벡터 (eigen value, eigen vector)

https://www.youtube.com/watch?v=7dmV3p3Iy90 

 

해당 내용은 공돌이의 수학정리노트를 정리한 내용 

이 블로그는 내가 보고 기억하려고 적는것이고, 이 글보다는 위 영상을 보는 것이 이해에 훨씬 도움이 된다. 

 

 

https://angeloyeo.github.io/2019/07/17/eigen_vector.html

해당 사이트에서 vector에 곱해지는 matrix 값들을 변경시켜보며 감을 익혀볼 수 있다. 

※ diagonal 값은 벡터의 길이를 조정한다. 이로인해 만약 diagonal 값 외에 모든 값이 0일 때 diagonal 값이 0 이 되면 차원이 축소된다.

 

※ 이 시연을 통해 벡터에 행렬 연산을 취하면 원래 벡터와 다른 벡터 결과 값을 얻는 다는 것을 확인했다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그러나 어떤 벡터들은 선형 변환 시 크기만 바뀌고 방향이 바뀌지 않을 수 있다. 

예시)

 

 

즉, 고윳값과 고유벡터가 물어보는 것은 아래와 같다. 

- 벡터 $\vec{x}$ 에 선형변환 $A$ 를 취했을 때, 그 크기만 변하고 원래 벡터와 평행한 벡터 $\vec{x}$ 는 무엇인가요? 

- 그렇다면, 그 크기는 얼마나 변했나요? 

 

이때 고유벡터는 $x (\vec{x})$ , 고유값은 $\lambda$ 가 된다. 

 

정리하자면, 고윳값과 고유벡터의 정의는 아래와 같다. 

이로인해, 고유값과 고유벡터를 계산하기 위해서는 다음 과정을 거친다. 

$$A\vec{x} = \lambda\vec{x}$$

$$\rightarrow A\vec{x} = \lambda I \vec{x}$$

$$\rightarrow (A-\lambda I)\vec{x} = \vec{0}$$

 

여기서 $\vec{x} != 0$ 인 경우를 만족하기 위해서는 $A-\lambda I$가 역행렬을 가져서는 안된다. 

즉, $det(A-\lambda I) = 0$ 이어야 한다.

예시문제

아래와 같은 행렬 $A$에 대한 고윳값과 고유벡터를 계산하시오. 

$$A = \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right]$$

 

$$A\vec{x} = \lambda\vec{x} $$

$$ (A-\lambda l) \vec{x} = \vec{0} $$

$$ det(A-\lambda l) = 0$$

$$ det( \left[ \begin{matrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \\ \end{matrix} \right]) = 0$$

$$ (2-\lambda)^2 - 1 = 0$$

$$ \lambda^2 - 4\lambda + 4 - 1 = 0$$

$$ \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$$

$$\Rightarrow \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3$$

$ \lambda_1 = 1 \textbf{인 경우} $

$2x_1 x_2 = x_1 $

$x_1 + 2x_2 = x_2$

$\Rightarrow -x_2 = x_1$

대충 비율만 맞추면 되므로,  $x_1 = 1, x_2 = -1$

 

고유벡터는 아래와 같이 1로 맞춰주거나 

$$ \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right] $$

혹은 벡터의 크기를 참고하여

$$ \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \sqrt{2} \\ -\sqrt{2} \end{matrix} \right] \cdot t \,\, (t \in \mathbb{R})$$

라고 표현하기도 한다. 

 

 

$\lambda_2 = 3 \textbf{인 경우}$

$v_2 = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right]$

 

 

예시)