[백준] - DFS 연산자 끼워넣기

연산자 끼워넣기 

시간 제한메모리 제한제출정답맞힌 사람정답 비율

2 초

512 MB

68464

35831

22847

49.465%

문제

N개의 수로 이루어진 수열 A1, A2, ..., AN이 주어진다. 또, 수와 수 사이에 끼워넣을 수 있는 N-1개의 연산자가 주어진다. 연산자는 덧셈(+), 뺄셈(-), 곱셈(×), 나눗셈(÷)으로만 이루어져 있다.

우리는 수와 수 사이에 연산자를 하나씩 넣어서, 수식을 하나 만들 수 있다. 이때, 주어진 수의 순서를 바꾸면 안 된다.

예를 들어, 6개의 수로 이루어진 수열이 1, 2, 3, 4, 5, 6이고, 주어진 연산자가 덧셈(+) 2개, 뺄셈(-) 1개, 곱셈(×) 1개, 나눗셈(÷) 1개인 경우에는 총 60가지의 식을 만들 수 있다. 예를 들어, 아래와 같은 식을 만들 수 있다.

• 1+2+3-4×5÷6
• 1÷2+3+4-5×6
• 1+2÷3×4-5+6
• 1÷2×3-4+5+6

식의 계산은 연산자 우선 순위를 무시하고 앞에서부터 진행해야 한다. 또, 나눗셈은 정수 나눗셈으로 몫만 취한다. 음수를 양수로 나눌 때는 C++14의 기준을 따른다. 즉, 양수로 바꾼 뒤 몫을 취하고, 그 몫을 음수로 바꾼 것과 같다. 이에 따라서, 위의 식 4개의 결과를 계산해보면 아래와 같다.

• 1+2+3-4×5÷6 = 1
• 1÷2+3+4-5×6 = 12
• 1+2÷3×4-5+6 = 5
• 1÷2×3-4+5+6 = 7

N개의 수와 N-1개의 연산자가 주어졌을 때, 만들 수 있는 식의 결과가 최대인 것과 최소인 것을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 수의 개수 N(2 ≤ N ≤ 11)가 주어진다. 둘째 줄에는 A1, A2, ..., AN이 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 100) 셋째 줄에는 합이 N-1인 4개의 정수가 주어지는데, 차례대로 덧셈(+)의 개수, 뺄셈(-)의 개수, 곱셈(×)의 개수, 나눗셈(÷)의 개수이다. 

출력

첫째 줄에 만들 수 있는 식의 결과의 최댓값을, 둘째 줄에는 최솟값을 출력한다. 연산자를 어떻게 끼워넣어도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같은 결과가 나오는 입력만 주어진다. 또한, 앞에서부터 계산했을 때, 중간에 계산되는 식의 결과도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같다.

예제 입력 1 복사

2
5 6
0 0 1 0

예제 출력 1 복사

30
30

예제 입력 2 복사

3
3 4 5
1 0 1 0

예제 출력 2 복사

35
17

예제 입력 3 복사

6
1 2 3 4 5 6
2 1 1 1

예제 출력 3 복사

54
-24

 

 

문제의 핵심은 다음과 같다. 

1) 단순 구현으로 brute force 로 풀 수 있는가? 

 

2) 풀 수 없다면 어떤 방법으로 풀어야 하는가? 

 

 

1) Brute Force

Brute force 로 풀기 위해서는 연산자를 각각 자리에 끼워맞춰 봐야 한다. 

 

각 자리에 연산자를 끼워넣는 방법은? 

먼저 permutation 과 combination의 차이를 생각해보자. 

아래의 글은 기본 이해를 돕는다. 

 

https://mathbang.net/547

순열과 조합 - 조합이란

 

5번의 시행에서 사건 A가 3번 일어날 확률을 구한다고 가정하자. 

해당 사건은 한가지만 있는 것이 아니다.

실제는 아래와 같다. 

$ ^n C_{r} $

순서를 고려하지 않는 조합이다. 

반면 순서를 고려하면 순열이다. 

 

하지만 우리의 경우에는 10번의 시행에서 가지고 있는 모든 경우의 수가 일어나야 한다. 

 

즉 10번의 시행에서 주어진 연산자가 모두 시행되어야 한다. 

그리고 (a,b,c,d) 와 (b,c, a,d) 를 같은 것으로 보는 것이 조합이므로 10번의 시행에서 10개 연산자를 모두 시행하는 경우의 수는 단 1개이다. 

 

10번의 시행에서 10개의 연산자의 순서를 섞어 시행하는 경우를 구하려면 바로 permutation 이 필요하고 이는 10! 번의 시행이다. ($10 \times 9 \times 8 \times ... 1$)

 

다만, 동일한 연산자가 동일 위치에 들어가는 경우는 고려하지 않아도 되므로 

set(permutations(lst, n))

set 처리하면 된다. 

from itertools import permutations

N = int(input())
lst = list(map(int,input().split()))

#+ - x //
opers = list(map(int,input().split()))
new_opers = []

new_opers += ['+'] * opers[0]
new_opers += ['-'] * opers[1]
new_opers += ['*'] * opers[2]
new_opers += ['//'] * opers[3]

ans = set(permutations(new_opers ,N-1))

ops = {"+": (lambda x,y: x+y), "-": (lambda x,y: x-y), "*": (lambda x,y : x*y), "//": (lambda x,y: x//y if x > 0 else -(-x // y))}

result_min = 1e9
result_max = -1e9

for Noper in ans:
    result = lst[0]
    for i,j in zip(lst[1:], Noper):
        result = ops[j](result, i)
    result_min = min(result, result_min)
    result_max = max(result, result_max)

print(result_max)
print(result_min)

코드 구현 센스라면 수와 연산자를 zip 처리하여 한줄로 깔끔하게 구현할 수 있다. 

혹시 list 를 돌지말고 queue 를 선언하면 더 빠를까 싶어서 사용해봤는데 끽해야 원소 개수가 11개인 해당 문제에서는 queue 생성 시간이 더 걸린다. queue 생성 시간은 얼추 20ms 로 생각보다 빠르다는 것을 확인했다. (물론 길이가 길 수록 시간이 더 걸리긴 하겠지만..)

이 문제를 풀면서 주요했던 포인트는 아래와 같다. 

• permutations vs combinations 
• set 의 사용 
• lambda 의 사용으로 깔끔한 코드 정리 
• zip을 사용함으로써 깔끔한 코드 정리 

2) DFS

해당 문제를 DFS 로도 해결이 가능하다는데 도저히 감이 안와서 블로그 글을 참고한다. 

https://data-flower.tistory.com/72

[백준 14888번] 연산자 끼워넣기 - 파이썬

 

N = int(input())
lst = list(map(int,input().split()))

#+ - x // N-1 
opers = list(map(int,input().split()))

ans = lst[0]

result_max = -1e9
result_min = 1e9

def dfs(k, ans):
    global result_max, result_min
    if k == N:
        result_max = max(result_max, ans)
        result_min = min(result_min, ans)

    if opers[0] != 0:
        opers[0] -= 1
        dfs(k+1, ans + lst[k])
        opers[0] += 1
    if opers[1] != 0:
        opers[1] -= 1
        dfs(k+1, ans - lst[k])
        opers[1] += 1
    if opers[2] != 0:
        opers[2] -= 1
        dfs(k+1, ans * lst[k])
        opers[2] += 1
    if opers[3] != 0: 
        opers[3] -= 1
        dfs(k+1, ans // lst[k] if ans >0 else -(-ans // lst[k]) )
        opers[3] += 1

dfs(1, ans)

print(result_max)
print(result_min)

 

해당 문제는 생각해보면 brute force 로 푼 내 풀이방법도 궁극적으로는 재귀로 구현을 못해서 돌려 구현한 샘이다. 

brute force에 set 을 적용한다는 것이 재귀로 각 연산자를 위치에 반복되지 않게 배치할 방법을 구현못한다는 뜻이다. 

 

DFS 에 대한 올바른 이해가 없었다. 

나는 DFS 를 노드 방문 문제에서만 풀다보니 DFS 가 정확히 어떤 알고리즘인지 몰랐던 것 같다. 

DFS의 깊이 우선 탐색을 한다는 것은 목적지까지 한번 방문하고, 한번씩 전 단계로 돌리면서 방문할 수 있는 모든 경우의 수를 확인하는 알고리즘이다. 

 

그리고 이를 구현하기 위하여 재귀함수를 사용하면서, 재귀함수의 특성을 사용하여 

opers[1] += 1 
recursion
opers[1] -= 1

와 같은 테크닉을 사용해야 한다. 

 

이번 문제와 같이 모든 경우의 수를 확인하는 경우 문제들이 종종 있는데 이때 DFS 로 해결가능하다는 것을 기억하자.